IV°/
La géométrie non euclidienne
Parmi les postulats d’Euclide, celui qui concerne les droites parallèles a
toujours été le plus problématique. Jusqu’au début du XVIIIème siècle,
il y eut beaucoup de tentatives pour le démontrer à partir des axiomes et des autres
postulats de la géométrie euclidienne. Cependant, un mathématicien italien, G.Saccheri,
fut le premier à entreprendre cette démonstration en raisonnant par l’absurde, en
1733. En supposant la négation du postulat des parallèles, il espérait aboutir à une
contradiction. En réalité, il avait mis en évidence qu’une autre géométrie
était possible, et cette idée lui parut inacceptable.
 |
En 1831 et en
1834, indépendamment l’un de l’autre, Bolyai et Lobatchevski inventèrent une
nouvelle géométrie dans laquelle il existe une infinité de droites parallèles à une
droite donnée passant par un point hors de cette droite, ces parallèles se situant entre
deux limites. Dans cette géométrie étrange, la somme des angles est inférieure
à 180° ou encore deux triangles semblables sont toujours égaux.
En 1854, Riemann étudia l’hypothèse contraire : en un point donné hors
d’une droite, il ne passe aucune parallèle à cette droite, . autrement dit, dans un plan, toutes les
droites sontconcourantes.
Dans cette géométrie, la somme des angles d’un triangle est supérieure à
180° et les droites sont toutes de longueur finie…
|
La somme des angles est inférieure à 180°
Représentation de l’espace selon Lobatchevski..
A chaque géométrie on peut faire correspondre une idée de courbure de
l’espace : positive chez Riemann, négative chez Lobatchevski, et nulle dans la
géométrie euclidienne. Einstein a utilisé cette idée pour construire la théorie de la
relativité : un rayon lumineux suit le plus court chemin, mais, si l’espace est
courbe, celui-ci n’est plus nécessairement une droite.